Geometria Euclidea e tecnica del costruire

Raffigurazione di Euclide, matematico greco

"<<Cosa ci hanno insegnato i filosofi questa settimana?>>.

<<Ho letto Euclide>>. Elementi di geometria di Euclide era stato uno dei primi libri ad essere tradotto. [...]

<<Che cosa hai imparato?>> chiese Josef, il fidanzato di Raya. 

Jack esitò, era difficile spiegarlo. Cercò di dare un'idea pratica. <<Il mio patrigno, che era costruttore, mi aveva insegnato a fare certe operazioni geometriche: dividere esattamente a metà una linea, tracciare un angolo retto, disegnare un quadrato dentro un altro in modo che il più piccolo abbia un'area eguale alla metà del più grande>>. 

<<E che scopo ha tutto questo?>> intervenne Josef con una sfumatura sprezzante nella voce. [...]

<<Sono operazioni essenziali per pianificare le costruzioni>> rispose garbatamente Jack fingendo di non aver notato il tono. <<Dai un'occhiata a questo cortile. L'area del portico è esattamente eguale all'area scoperta al centro. Molti piccoli cortili sono costruiti così, inclusi i chiostri dei monasteri, perché queste proporzioni sono gradevoli. Se la parte centrale è più ampia, sembra un mercato; se è più piccola, sembra che sia soltanto un buco nel tetto. Ma per realizzarla come si deve, il costruttore deve essere capace di disegnare la parte centrale in modo che sia esattamente la metà dell'intera area>>. [...]

<<Euclide spiega perché questa tecnica funziona>> continuò Jack. <<Per esempio, le due parti della linea divisa sono eguali perché formano i lati corrispondenti di triangoli congruenti>>. [...]

<<Inoltre>> disse Jack <<ora che conosco i principi della geometria posso trovare soluzioni per problemi nuovi che sconcertavano il mio patrigno>>. Quella conversazione era un po' frustrante: per lui Euclide era stato una rivelazione affascinante, ma non riusciva a comunicare ad altri l'importanza esaltante di quelle scoperte. Cambiò leggermente approccio. <<La cosa più interessante è il metodo di Euclide>> disse. <<Prende cinque assiomi, cioè cinque verità evidenti, e da queste deduce tutto il resto per mezzo della logica>>."

Ken FOLLETT, I pilastri della Terra : Oscar Mondadori, pagg 719-720


La geometria, insieme al disegno, costituivano (e costituiscono tuttora) le pietre miliari del bagaglio culturale di un costruttore. Erano necessarie per rappresentare ciò che si intendeva costruire, per offrire un'idea chiara alle maestranze che avrebbero collaborato a erigere l'opera, ma anche per dare un senso di perfezione e armonia al complesso architettonico. L'esempio che Follett ci propone è quello di un cortile, ma lo stesso valeva anche per l'ampiezza degli archi, l'altezza delle colonne oppure la lunghezza di una navata.
L'importanza di queste due discipline era già stata messa in evidenza da Villard de Honnecourt nell'introduzione ai suoi diari.


CENNI DI GEOMETRIA EUCLIDEA
Gli elementi fondamentali della geometria euclidea sono il punto, la retta, ed il piano.
Postulati:
- Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta.
- Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
- Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere una circonferenza.
- Tutti gli angoli retti sono uguali.
- Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.

Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:
- Per un punto passano infinite rette
- Per due punti distinti passa una ed una sola retta
- Per una retta nello spazio passano infiniti piani
- Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:
- Due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.
- Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.
- La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.

Raffigurazione del concetto espresso dal protagonista: il quadrato in rosso (che rappresenta il cortile) ha la stessa area della parte di quadrato compresa tra la linea nera e quella rossa (porticato)

Costruire con consapevolezza: Villard de Honnecourt

"Mentre camminava, Tom pensava alla cattedrale che un giorno avrebbe costruito. Come sempre, incominciò immaginando un'arcata. Era semplicissima: due montanti che sostenevano un semicerchio. Poi ne immaginò una seconda, identica alla prima. Le accostò mentalmente in modo da formare un'unica arcata profonda. Poi ne aggiunse un'altra e un'altra ancora, e tante altre, fino a quando ne ebbe un'intera fila che formava una galleria. Era l'essenza di un edificio, perchè aveva un tetto per tenere lontana la pioggia e due muri per reggere il tetto. Una chiesa, in fondo, era una specie di galleria perfezionata.
Una galleria era buia; quindi la prima miglioria era rappresentata dalle finestre. Se il muro era abbastanza forte, poteva essere perforato. Le aperture sarebbero state rotonde in alto, con i lati diritti e un davanzale piatto... della stessa forma dell'arcata. L'uso di forme simili per gli archi, le finestre e le porte era una delle cose che contribuivano ad abbellire un edificio. Un'altra era la regolarità, e Tom vedeva la prospettiva di dodici finestre identiche, a spaziature eguali, lungo ogni muro della galleria."
Ken FOLLETT, I pilastri della Terra : Oscar Mondadori, pag 30

Cattedrale di Notre-Dame, Reims

Ciò che più mi colpisce di questi due capoversi è la dinamicità del pensiero del costruttore, la sua familiarità con quello che descrive, tanto da poter assemblare mentalmente pezzi e parti costruttive, fino a ottenere un'intera navata, nella completezza delle arcate, illuminate da grosse finestre.
Leggendo queste righe non ho fatto altro che immaginare una grossa finestra AutoCad, in cui prendeva forma l'intera struttura.
I costruttori dell'epoca, non disponendo degli odierni sofisticatissimi mezzi di rappresentazione, erano costretti a progettare mentalmente, a disegnare su carta e a realizzare e imparare in cantiere, eventualmente anche dai propri errori.


E' però proprio al Medioevo che risalgono i primi trattati ingegneristici riguardanti la costruzione di edifici e non solo. Per la prima volta nella storia si prova a riempire taccuini di schizzi e disegni, rappresentazioni e spiegazioni figurate di ciò che si stava costruendo o si pensava di voler costruire.
Il primo esempio di trattato di ingegneria risale al XIII secolo e fu a lungo conservato presso la biblioteca dell'abbazia di "Sancti Germani a Pratis", nel quartiere latino di Parigi. Si tratta del taccuino di Villard de Honnecourt, una raccolta di appunti e disegni relativi all'arte di costruire cattedrali.
Propongo di seguito alcuni dei suoi disegni.

Sullo stesso argomento:
http://tecnologiaearte2013.blogspot.it/2013/04/villard-de-honnecourt-e-lesserzialita.html
http://machine-history.blogspot.it/2013/04/middle-age-engineers.html