Geometria Euclidea e tecnica del costruire

Raffigurazione di Euclide, matematico greco

"<<Cosa ci hanno insegnato i filosofi questa settimana?>>.

<<Ho letto Euclide>>. Elementi di geometria di Euclide era stato uno dei primi libri ad essere tradotto. [...]

<<Che cosa hai imparato?>> chiese Josef, il fidanzato di Raya. 

Jack esitò, era difficile spiegarlo. Cercò di dare un'idea pratica. <<Il mio patrigno, che era costruttore, mi aveva insegnato a fare certe operazioni geometriche: dividere esattamente a metà una linea, tracciare un angolo retto, disegnare un quadrato dentro un altro in modo che il più piccolo abbia un'area eguale alla metà del più grande>>. 

<<E che scopo ha tutto questo?>> intervenne Josef con una sfumatura sprezzante nella voce. [...]

<<Sono operazioni essenziali per pianificare le costruzioni>> rispose garbatamente Jack fingendo di non aver notato il tono. <<Dai un'occhiata a questo cortile. L'area del portico è esattamente eguale all'area scoperta al centro. Molti piccoli cortili sono costruiti così, inclusi i chiostri dei monasteri, perché queste proporzioni sono gradevoli. Se la parte centrale è più ampia, sembra un mercato; se è più piccola, sembra che sia soltanto un buco nel tetto. Ma per realizzarla come si deve, il costruttore deve essere capace di disegnare la parte centrale in modo che sia esattamente la metà dell'intera area>>. [...]

<<Euclide spiega perché questa tecnica funziona>> continuò Jack. <<Per esempio, le due parti della linea divisa sono eguali perché formano i lati corrispondenti di triangoli congruenti>>. [...]

<<Inoltre>> disse Jack <<ora che conosco i principi della geometria posso trovare soluzioni per problemi nuovi che sconcertavano il mio patrigno>>. Quella conversazione era un po' frustrante: per lui Euclide era stato una rivelazione affascinante, ma non riusciva a comunicare ad altri l'importanza esaltante di quelle scoperte. Cambiò leggermente approccio. <<La cosa più interessante è il metodo di Euclide>> disse. <<Prende cinque assiomi, cioè cinque verità evidenti, e da queste deduce tutto il resto per mezzo della logica>>."

Ken FOLLETT, I pilastri della Terra : Oscar Mondadori, pagg 719-720


La geometria, insieme al disegno, costituivano (e costituiscono tuttora) le pietre miliari del bagaglio culturale di un costruttore. Erano necessarie per rappresentare ciò che si intendeva costruire, per offrire un'idea chiara alle maestranze che avrebbero collaborato a erigere l'opera, ma anche per dare un senso di perfezione e armonia al complesso architettonico. L'esempio che Follett ci propone è quello di un cortile, ma lo stesso valeva anche per l'ampiezza degli archi, l'altezza delle colonne oppure la lunghezza di una navata.
L'importanza di queste due discipline era già stata messa in evidenza da Villard de Honnecourt nell'introduzione ai suoi diari.


CENNI DI GEOMETRIA EUCLIDEA
Gli elementi fondamentali della geometria euclidea sono il punto, la retta, ed il piano.
Postulati:
- Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una e una sola retta.
- Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.
- Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere una circonferenza.
- Tutti gli angoli retti sono uguali.
- Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando indefinitamente le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti.

Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:
- Per un punto passano infinite rette
- Per due punti distinti passa una ed una sola retta
- Per una retta nello spazio passano infiniti piani
- Per tre punti non allineati nello spazio passa un solo piano

Si definiscono quindi altre nozioni, quali ad esempio:
- Due rette nello spazio si dicono complanari quando giacciono sullo stesso piano.
- Se un punto divide la retta a metà, ciascuna delle due parti si dice semiretta: questa sarà dotata di un'origine, ma non di una fine.
- La parte di retta delimitata da due punti è detta segmento.

Raffigurazione del concetto espresso dal protagonista: il quadrato in rosso (che rappresenta il cortile) ha la stessa area della parte di quadrato compresa tra la linea nera e quella rossa (porticato)